计算具有100个不重复约数的最小数 – Python编程挑战

题目描述

本题为填空题，只需要算出结果后，在代码中使用输出语句将所填结果输出即可。

学习了约数后，小明对于约数很好奇，他发现，给定一个正整数 t，总是可以找到含有 t 个约数的整数。小明对于含有 t 个约数的最小数非常感兴趣，并把它定义为 S_t 。

例如 S₁=1，S₂=2，S₃=4，S₄=6，⋅⋅ 。

现在小明想知道，当 t=100 时，S_t 是多少？即 S100 是多少？

运行限制

• 最大运行时间：1s
• 最大运行内存: 128M

来自: 5.求值 – 蓝桥云课

我的题解

import math

def compute_search_all_approximate(number):
    """
    计算一个数的所有约数的数量（包括自身）。
    
    参数:
    number: int - 需要计算约数数量的数。
    
    返回值:
    int - 约数的数量。
    """
    numbers_set = set()  # 使用集合存储约数，避免重复
    numbers_set.add(number)
    # 遍历1到number的平方根，寻找所有的约数
    for i in range(1, int(math.sqrt(number)) + 1):
        if number % i == 0:
            numbers_set.add(i)
            # 如果i不是number的平方根，则number/i也是一个约数
            if number // i != i:
                numbers_set.add(number // i)
    numbers_set.add(number)  # 因为算法开始时未添加number自身，这里补充添加
    return len(numbers_set)  # 返回约数的总数

def search_min_approximate(target):
    """
    寻找一个数，其所有约数（包括自身）的数量恰好等于target。
    
    参数:
    target: int - 目标约数数量。
    
    返回值:
    int - 找到的数，其约数数量等于target。
    """
    start_number = 1
    while True:  # 逐个尝试数字，直到找到符合要求的数
        if compute_search_all_approximate(start_number) == target:
            return start_number
        start_number += 1

if __name__ == '__main__':
    print(search_min_approximate(100))  # 输出寻找的约数数量为100的数
    #print(compute_search_all_approximate(45360))  # 这是一个示例，计算45360的约数数量

AI 题解

ChatGLM-4.0

为了找到不重复的约数数量恰好为100的最小数，我们可以采用一种策略，即找到一个数，它是由几个小的质数乘积的幂组成的，这样每个质数的幂至少为1，以保证至少有100个约数。

我们知道，如果一个数可以表示为 p1^k1 * p2^k2 * ... * pn^kn，其中 pi 是质数，那么它的约数数量为 (k1+1) * (k2+1) * ... * (kn+1)。为了得到100个约数，我们需要找到质数幂的乘积，其结果为100。

首先，我们尝试找到所有可能的质数幂乘积组合，这些组合必须等于100。然后，我们从最小的质数开始，尝试构建这个数。

下面是计算这个问题的Python代码：

from itertools import combinations_with_replacement
from functools import reduce

def prime_powers_with_divisor_count(count):
    # 找到所有可能的质数幂组合，其乘积为count
    primes = [2, 3, 5, 7, 11, 13]  # 使用较小的质数
    for r in range(1, len(primes) + 1):
        for combo in combinations_with_replacement(primes, r):
            if reduce(lambda x, y: x * y, combo) == count:
                return combo
    return None

def build_number_from_prime_powers(prime_powers):
    # 从质数幂构建数
    return reduce(lambda x, y: x * y, (p ** k for p, k in prime_powers.items()), 1)

def smallest_number_with_unique_divisors(count):
    # 找到质数幂组合
    prime_powers = prime_powers_with_divisor_count(count)
    if prime_powers is None:
        return None  # 没有找到合适的组合
    
    # 由于我们使用的是组合_with_replacement，可能会有重复的质数
    # 我们需要将它们合并为单一的质数幂
    unique_prime_powers = {}
    for prime in prime_powers:
        unique_prime_powers[prime] = unique_prime_powers.get(prime, 0) + 1
    
    # 构建最小的数
    return build_number_from_prime_powers(unique_prime_powers)

# 计算不重复的约数数量恰好为100的最小数
print(smallest_number_with_unique_divisors(100))

请注意，这段代码首先尝试找到所有可能的质数幂组合，其乘积为100。然后，它将这些组合合并为唯一的质数幂，并构建最终的数。

然而，由于我们只考虑了较小的质数，可能不存在一个组合使得其乘积为100。如果找不到这样的组合，函数将返回 None。对于实际的问题，我们可能需要考虑更大的质数或采用不同的策略。

实际上，对于不重复的约数数量恰好为100的数，可能不存在一个简单的质数幂组合。这是因为100不是一个质数的幂，也没有两个质数的乘积等于100。因此，我们可能需要考虑更多的质数或采用更复杂的策略来找到答案。

为了解决这个问题，我们可以考虑使用更全面的质数列表，并尝试找到一个数，它的约数数量可以通过质数幂的乘积来计算，并且这个数是最小的。以下是修改后的代码，它使用了一个更全面的质数列表：

from itertools import combinations
from math import prod

def prime_factors(n):
    i = 2
    factors = {}
    while i * i <= n:
        if n % i:
            i += 1
        else:
            n //= i
            factors[i] = factors.get(i, 0) + 1
    if n > 1:
        factors[n] = factors.get(n, 0) + 1
    return factors

def smallest_number_with_unique_divisors(count):
    # 从2开始尝试，直到找到一个数它的约数数量为count
    n = 2
    while True:
        factors = prime_factors(n)
        if prod(k + 1 for k in factors.values()) == count:
            return n
        n += 1

# 计算不重复的约数数量恰好为100的最小数
print(smallest_number_with_unique_divisors(100))

这段代码简单地从2开始尝试每个整数，并计算其质因数的指数加1的乘积，直到找到一个恰好有100个不重复约数的数。这个方法可能需要一些时间来找到一个答案，但它是可行的。

讯飞星火 V3.5

def count_divisors(n):
    count = 0
    for i in range(1, int(n**0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            count += 2
            if i * i == n:
                count -= 1
    return count

num = 1
while True:
    if count_divisors(num) >= 100:
        print(num)
        break
    num += 1

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存档地址：https://www.yuque.com/worthstudy/study/hn6fam7hftqq5dok?singleDoc# 《求值》